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BIENVENIDO !!! E n la presente Wiki, encontrará un breve recorrido por la historia de la geometría, iniciamos teniendo como referencia los aportes de Euclides, antes y luego de sus postulados, se amplia la información sobre algunos problemas de esa época, se destacan los aportes de Pitágoras y su teorema para la resolución de triángulos rectángulos. Utlizando una presentación en Prezi, se resalta la relación de la geometría y el arte. En el menú de navegación está el vínculo con Hojas de Vida, señalando a Geometras de transcendencia por sus aportes a esta área de la matemática, al igual es frecuente que encuentre un link cada vez que aparece uno de estos nombres. Y en el otro enlace, se relaciona la geometría y la trigonometría.

Geometría antes de los griegos
El inicio de la geometría coincide con el origen de la humanidad. El pensamiento precientífico apoyado sobre el monoteísmo naturalista de Amenhotep IV funda en el siglo XIV aC culto a la nueva imagen del Dios Ra representado con un círculo dorado. La abstracción del pensamiento mágico representa el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría. Las primeras civilizaciones mediterráneas poco a poco descubren conocimientos geométricos muy prácticos basados en fórmulas para calcular áreas y longitudes, con el objetico de calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. El conocimiento geométrico tanto de egipcios como de las culturas mesopotámicas pasa íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, la secta de los pitagóricos, y esencialmente de Euclides. media type="custom" key="8868082" align="center"

La Geometría antes de Euclides
Tales visita Egipto una larga temporada y aprende de los sacerdotes y escribas egipcios lo referente a sus conocimientos en general, fue capaz de razonar y medir entonces la altura de la pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar con asombrosa precisión.

La Geometría griega es la primera en ser formal, ésta toma como referencia algunos de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas,y llega a la abstracción al considerar los objetos como entes ideales que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.

Pitágoras y su escuela influyeron notablemente, pues elevaron a la categoría de elemento primigenio el concepto de número, llevando a la Geometría a un lugar muy privilegiado en sus estudios, y establece definitivamente el concepto de demostración formal como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría. Esta actitud permitió la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.

En la escuela pitagórica surgió la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables aunque esta crisis es de carácter más filosófico y aritmético que geométrico.

Surge entonces un problema a nivel lógico: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener una tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

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El prezi anterior se refiere al Teorema de Pitágoras, el cual es utilizado aún para la resolución de triángulos rectángulos, para encontrar la longitud de sus lados, teniendo bien sea la longitud de los catetos encontrar la hipotenusa, o dada ésta y un cateto, encontrar el otro.

Los elementos de Euclides
La gran contribuciòn de Euclides a la geometrìa antigua consiste en formalizar todos estos conocimientos geométricos en su famoso libro "los elementos" que a parte de la biblia es uno de los libros con más de mil ediciones, con sus trece volúmenes basados en cinco postulados. De si el quinto postulado es un postulado o un teorema se discutió casi hasta mediados del siglo XIX, en este libro Euclides recoge todos los conceptos como punto, linea y superficie entre otros y los pronone como definiciones, 23 de ellas en total, la definición de punto es la primera, "un punto es lo que no tiene partes" definicones como estas, curiosamente aún tienen vigencia en las matemáticas escolares que se enseñan en la escuela.

Fragmento de Los Elementos de Euclides

Los tres problemas geométricos de la antigüedad
Toda la geometrìa de euclides está basada en construcciones con regla y compás, estos son los únicos elementos con que se acepta hacer comprobaciones, con ellos es imposible dar solución a tres problemas que surgen en esta època y que para dar solución a ellos es necesario recurrir a los "inconmensurables" o números irracionales de hoy en dia que los griegos antigÜos desconocian, ellos son: La duplicación del cubo, [|La trisección del ángulo]y La cuadratura del círculo

La duplicación del cubo

En la antigua Grecia en época de Pericles, azotaba a atenas un aterrible peste que lo llevo a la muerte, cuenta la leyenda que consultado el oráculo sobre que hacer para terminar con este terrible mal se dió por solución duplicar el volumne del altar dedicado a Delos, creyendo haccer bien la tarea, se duplicó el lado del templo considerando así que se habia duplicado su volumen cuando en realidad se aumentó 8 veces, lógicamente la peste no desapareció, pues tarde sedieron cuenta de tan craso error. Este problema quedó planteado por mucho tiempo hasta que con ayuda de los números irracionales se puso encontrar solición a este acertijo.

Hoy en dia el oráculo consagrado a Delfos.

La trisección del ángulo

Otro problema de la geometría antigüa, consistía en en dividir un ángulo cualquiera en tres iguales utilizando únicamente regla y compás, bajo estos requisitos, con regla y compás el problema está aun vigente.En el siguiente video se observa una soluciòn con ayuda de un sofware de geometría. En la catualidad existen muchos de estos programas que permiten enseñar la geometria en forma dinámica entre ellos cabrique permite realizar trabajos incluso entres dimensiones y otros mas secillos como Goegebra para trabajos mas elementales.

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GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

//Hacia el 300 a.C. Euclides escribió// Los Elementos//, un libro que se convertiría en uno de los más famosos jamás escritos.// Euclides hizo cinco postulados sobre los cuales basó todos sus teoremas. Es claro que el quinto postulado es diferente de los otros cuatro. No satisfacía a Euclides, quien trató de evitar su uso tanto como pudo - de hecho, las primeras 28 proposiciones de //Los elementos// se demuestran sin emplearlo. Otro comentario que vale la pena hacer en este punto es que Euclides, y muchos otros que le siguieron, supuso que las líneas rectas eran infinitas.
 * 1) Se puede trazar una línea recta desde un punto hasta otro cualquiera.
 * 2) Se puede prolongar una línea recta finita continuamente.
 * 3) Se puede describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
 * 4) Todos los ángulos rectos son iguales.
 * 5) Si una línea recta cruza otras dos líneas rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces, si se continúan esas dos rectas indefinidamente, se cortan del lado en el que hay ángulos menores que los dos ángulos rectos.

Proclo (410-485) escribió un comentario sobre //Los elementos// en el cual comenta sobre intentos de deducir el quinto postulado de los otros cuatro; hace notar en particular que [|Tolomeo] había producido una 'prueba' falsa. Proclo prosigue dando una prueba falsa propia. Sin embargo sí dio el siguiente postulado, el cual es equivalente al quinto. > El Axioma de Playfair: //Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea.// Aunque es conocido desde la época de Proclo, éste se conoce como //Axioma de Playfair// después de que John Playfair escribiera un famos comentario sobre Euclides en 1795 en el cual propone reemplazar el quinto postulado de Eiclides por este axioma.

Muchos intentos se hicieron para demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro; muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos periodos de tiempo hasta que se encontraba el error. Invariablemente el error consistía en suponer alguna propiedad 'obvia' la cual resultaba ser el quinto postulado. Una de estas 'pruebas' fue dada por Wallis en 1663 cuando pensó que había deducido el quinto postulado pero en realidad había demostrado que era su equivalente: > //Para cada triángulo existe un triángulo similar de magnitud arbitraria// Una de las pruebas intentadas resultó ser más importante que la mayoría de las otras. Fue la producida en 1697 por Girolamo Saccheri. La importancia del trabajo de Saccheri fue que suponía que el quinto postulado era falso y trataba de llegar de allí a alguna contradicción.

 Aquí está el **cuadrilátero de Saccheri** En esta figura Saccheri demostró que los ángulos superiores en //D// y //C// eran iguales. La prueba usa propiedades de los triángulos congruentes que Euclides demostró en las Proposiciones 4 y 8, las cuales son demostradas antes de que se use el quinto postulado. Saccheri ha demostrado:
 * 1) Los ángulos superiores son > 90° (hipótesis del ángulo obtuso).
 * 2) Los ángulos superiores son < 90° (hipótesis del ángulo agudo).
 * 3) Los ángulos superiores son = 90° (hipótesis del ángulo recto).

El quinto postulado de Euclides es c). Saccheri demostró que la hipótesis del ángulo obtuso implicaba al quinto postulado, obteniendo así una contradicción. Saccheri entonces estudió la hipótesis del ángulo agudo y derivó muchos teoremas de la geometría no-euclidiana sin darse cuenta de lo que hacía. Sin embargo, finalmente 'probó' que la hipótesis del ángulo agudo llevaba a una contradicción al suponer que hay un 'punto al infinito' el cual está sobre el plano.

En 1766 Lambert siguió una línea similar a la de Saccheri. No obstante, no cayó en la trampa en la que cayó Saccheri e investigó la hipótesis del ángulo agudo sin obtener una contradicción. Lambert notó que, en esta nueva geometría, la suma de los ángulos de un triángulo se incrementaba cuando el área del triángulo disminuía.

Legendre pasó cuarenta años de su vida trabajando en el postulado de las paralelas y esta obra aparece en el apéndice de varias ediciones de su muy exitoso libro de geometría //Eléments de Géométrie//. Legendre demostró que el quinto postulado de Euclides es equivalente a: > //La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.// Legendre mostró, al igual que Saccheri cien años antes, que la suma de los ángulos de un triángulo no puede ser mayor que dos ángulos rectos. Esto, nuevamente como Saccheri, se basaba en el hecho de que las líneas rectas eran infinitas. Al tratar de demostrar que la suma de los ángulos no puede ser menor a 180° Legendre supuso que a través de cualquier punto en el interior de un ángulo es siempre posible dibujar una línea que toca ambos lados del ángulo. Esto resulta ser otra forma equivalente del quinto postulado, pero Legendre nunca se dio cuenta de su error.

La geometría elemental estaba en ese entonces envuelta en los problemas del postulado de las paralelas. d'Alembert, en 1767, la llamó //el escándalo de la geometría elemental//.

La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Par 1813 había progresado poco y escribió: > //En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas...// Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que la geometría euclidiana es //la inevitable necesidad de pensamiento// y a Gauss le disgustaba la controversia.

Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que //no perdiera una sola hora en ese problema// del quinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema.

En 1823 Bolyai escribió a su padre diciendo que //he descubierto cosas tan maravillosas que estoy asombrado ... de la nada he creado un extraño nuevo mundo//. Sin embargo le llevó a Bolyai otros dos años escribirlo todo y publicó su //extraño nuevo mundo// como un apéndice de 24 páginas en el libro de su padre, aunque solamente para confundir a generaciones posteriores, el apéndice fue publicado antes que el libro mismo.

Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en estas palabras al escribirle a un amigo: //Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden//. Sin embargo en cierto sentido Bolyai solamente supuso que la nueva geometría era posible. Después siguió las consecuencias de manera no muy diferente a la de aquellos que habían elegido suponer que el quinto postulado era falso y buscaban una contradicción. No obstante a ello, el verdadero avance fue la creencia de que la nueva geometría era posible. Gauss, a pesar de lo impresionado por Bolyai que sonaba en la cita anterior, más bien lo devastó al decirle que él mismo (Gauss) había descubierto todo esto anteriormente pero no lo había publicado. Aunque esto debe sin duda ser cierto, no le quita nada al increíble avance de Bolyai.

Tampoco queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el //Mensajero de Kazan//, una publicación universitaria local. El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski.

De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer el reconocimiento público de su trascendental obra. Publicó //Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas// en 1840, la cual, en sus 61 páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicación de un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre geometría no-euclidiana a una gran audiencia pero la comunidad matemática no estaba lista para aceptar ideas tan revolucionarias.

En el folleto de Lobachevsky de 1840 se explica claramente cómo funciona su geometría no-euclidiana. > //Todas las rectas que en un plano salen de un punto pueden con respecto a una recta dada en el mismo plano, ser divididas en dos clases -en las que cortan y las que no cortan. Las líneas frontera de cada clase de rectas se llamarán palalelas a la recta dada.// Desde aquí Lobachevsky ha reemplazado el quinto postulado de Euclides por: > Postulado de las paralelas de Lobachevsky. //Existen dos líneas paralelas a otra dada y que pasan por un punto dado que no está en la línea dada.// Lobachevsky prosiguió con el desarrollo de muchas identidades trigonométricas para triángulos en esta geometría, demostrando que conforme el triángulo se hace más pequeño, dichas identidades tienden a las identidades trigonométricas habituales.

Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una conferencia inaugural el 10 de junio de 1854 en la cual reformuló por completo el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio con suficiente estructura adicional como para poder medir cosas como la longitud. Esta plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte de Riemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidad de geometrías distintas. Riemann brevemente discutió una geometría 'esférica' en la cual cada línea que pasa por un punto //P// que no está en una línea //AB// toca a la línea //AB//. En esta geometría las rectas paralelas son imposibles.

Es importante darnos cuenta de que ni la descripción de Bolyai ni la de Lobachevsky de su nueva geometría habían sido probadas como consistentes. De hecho, no era diferente de la geometría euclidiana en este aspecto aunque los muchos siglos de trabajo con la euclidiana eran suficientes para convencer a los matemáticos de que jamás aparecería una contradicción dentro de ella.

La primera persona que puso a la geometría no-euclidiana de Bolyai - Lobachevsky en la misma base que la geometría euclidiana fue Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo //Ensayo sobre la interpretación de la geometría no-euclidiana// que presentaba un modelo para una geometría no-euclidiana bidimensional dentro de la geometría euclidiana tridimensional. Este modelo se obtuvo en la superficie de revolución de una tractriz alrededor de su asíntota. A esto se le llama a veces una //seudo-esfera//.

Puedes ver la gráfica de una [|tractriz] y cómo se ve la [|mitad superior de una pseudo-esfera].

De hecho, el modelo de Beltrami estaba incompleto pero sin duda daba una decisión final sobre el quinto postulado de Euclides ya que el modelo proporcionaba una base sobre la cual se sustentaban los primeros cuatro postulados de Euclides pero no así el quinto. Reducía el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría no-euclidiana al de la consistencia de los axiomas de la geometría euclidiana.

El trabajo de Beltrami sobre un modelo de la geometría no-euclidiana de Bolyai-Lobachevsky fue completado por Klein en 1871. Klein fue más allá de esto y dio modelos de otras geometrías no-euclidianas tales como la geometría esférica de Riemann. El trabajo de Klein se basaba en la noción de distancia definida por Cayley en 1859 cuando propuso una definición generalizada de distancia.

Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipo de la de Bolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamente distantes. En la geometría esférica del tipo de Riemann, las rectas no tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La geometría euclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes que son coincidentes.

Veamos como en nuestra época la geometría plana se relaciona con el arte, triángulos, cuadrados, en general polígonos llenos de color transmitiendo sensaciones,e impresiones de volúmen y perspectiva, de hecho se incluyen en el video obras del pintor Vallecauano [|Omar Rayo], fallecido el 7 de junio de 2010. media type="custom" key="8846652" align="center"

En la parte superior izquierda de la Wiki o dando click en el enlace @HOJAS DE VIDA se destacan algunos personajes y sus los aportes a la geometría.